PMSM 的 dq 模型

Clarke 与 Park 变换变换将电流转换到随转子同步旋转的坐标系中。本页描述的是位于这些变换之下的模型：这些电流需要什么样的电压，由哪些参数决定，以及在数据手册缺失或错误时如何测量这些参数。

从电气角度描述电机只需四个参数—— $R_{s}$ 、 $L_{d}$ 、 $L_{q}$ 和 $λ_{m}$ 。本站的所有控制器增益都是基于这四个参数计算得出的，因此其中一个参数出现偏差绝非学术问题。

首先考虑磁链

如果先写磁链，电压方程就更容易记住，因为电压方程就是磁链对时间的导数。

ψ_{d} = L_{d} i_{d} + λ_{m}, ψ_{q} = L_{q} i_{q}

d 轴磁链有两个来源：定子电流产生的磁链，以及永磁体产生的磁链，后者无论是否有电流流过都会产生 $λ_{m}$ 。q 轴磁链仅由定子电流产生——永磁体沿 $d$ 方向排列是其定义使然，这也正是选择该坐标系的意义所在。

$λ_{m}$ 是模型中唯一一个在逆变器关闭时仍不为零的项。这就是为什么 PMSM 会在反拖时旋转，为什么短路电机能够制动，以及为什么空转电机的端子上仍有电压。

电压方程

在以 $ω_{e}$ 速度旋转的坐标系中，矢量的导数会多出一项——因为坐标系本身正在其下方转动。这就产生了

v_{d} = R_{s} i_{d} + \frac{d ψ _{d}}{d t} - ω_{e} ψ_{q}, v_{q} = R_{s} i_{q} + \frac{d ψ _{q}}{d t} + ω_{e} ψ_{d}

并代入磁链：

v_{d} = R_{s} i_{d} + L_{d} \frac{d i _{d}}{d t} - ω_{e} L_{q} i_{q}

v_{q} = R_{s} i_{q} + L_{q} \frac{d i _{q}}{d t} + ω_{e} L_{d} i_{d} + ω_{e} λ_{m}

这些 $ω_{e} ψ$ 项值得特别说明。它们并非新的物理现象。将方程写在旋转坐标系中并没有给电机增加任何新的内容；它们只是从旋转视角描述静止量时产生的记账成本，也正是它们使得 dq 轴电流在稳态下保持恒定，而不是正弦波形。PMSM 驱动中的每一个棘手特性——交叉耦合、反电动势、电压上限——都早已存在于三相方程之中。旋转坐标系并未创造这些现象，它只是给它们命了名。

令 $d i / d t = 0$ （并对照动态项），方程中共有四类项：

项	位置	随何量增长	物理意义
$R_{s} i$	d、q 两轴	电流	铜损，全部转化为热量
$L d i / d t$	d、q 两轴	变化率	电流环唯一可以调节的项
$ω_{e} L i$	轴间交叉	转速 × 电流	各轴相互干扰
$ω_{e} λ_{m}$	仅 q 轴	转速	反电动势

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其他所有框图都简化为一个方框的电机模块内部结构。每个轴本身都只是一个简单的 R–L 一阶滞后环节；两轴之间的两个交叉耦合项，正是永磁同步电机与一对独立 R–L 负载之间的全部区别，而抵消这两项耦合正是电流环前馈解耦所做的事。两个轴的电流从右侧输出并共同产生转矩——这是下一页的内容。

为什么 $L_{d} \neq = L_{q}$

电感衡量的是定子磁场穿过转子的难易程度，而在大多数转子上，这一特性与方向有关。

在表贴式永磁（SPM）转子上，磁钢粘贴在转子外表面。磁钢材料的磁导率接近空气，因此定子磁场无论指向哪个方向，所看到的气隙都大致相同： $L_{d} \approx L_{q}$ ，电机是非凸极的（隐极电机）。

在内置式永磁（IPM）转子中，磁钢埋设于铁心内部。沿 d 轴方向，磁通路径直接穿过磁钢——相当于一段很长的等效气隙。而沿 q 轴方向，磁通可以经由磁钢之间的铁心流通，路径磁阻小得多。因此在内置式永磁（IPM）电机中，q 轴具有更大的电感： $L_{q} > L_{d}$ ，通常为 d 轴电感的 1.5 至 3 倍。

请注意其方向，因为这与“带磁钢的轴应该是‘强’轴”的直觉相反。正是磁钢的存在使得 d 轴路径变得困难。本网站始终使用的参考电机具有 $L_{d} = 210 μ H$ 和 $L_{q} = 330 μ H$ ，凸极比为 1.57。

由此立即产生两个后果，且每个后果都有单独的页面说明：

两个轴具有不同的电气时间常数——此处分别为 $L_{d} / R_{s} = 600 μ$ s 和 $L_{q} / R_{s} = 943 μ$ s。d、q 两个电流环并不是同一个环路，如果用同一套增益去整定两个轴，其中一个轴必然会因凸极比而失谐。详见电流环页面。
电感差异本身就是一个产生转矩的机制，与永磁体无关。这就是转矩和最大转矩电流比（MTPA）。

电压的实际去向

上述方程看起来很容易理解。但它们并未直观体现出：在整个运行范围内，各项之间的相对权重会发生彻底改变——以至于同一台驱动器在 200 rpm 和 5000 rpm 下运行时，虽然执行的是同一套代码，解决的却是截然不同的问题。

工作点转速 i_q i_d

左图：在工作点处，每个电压分量以带符号的条形表示，并绘出合成矢量与逆变器线性极限的关系。右图：各分量的幅值随转速的变化曲线。移动转速滑块，观察哪条曲线位于最上方。

在默认工况下——1500 rpm， $i_{q} = 10$ A， $i_{d} = 0$ ——三个分量分别为 $R_{s} i_{q} = 3.50$ V、 $- ω_{e} L_{q} i_{q} = - 2.07$ V 和 $ω_{e} λ_{m} = 5.34$ V，由此得到 $v_{d} = - 2.07$ V、 $v_{q} = 8.84$ V，总电压为 9.08 V。这相当于 48 V 直流母线所能提供的线性输出电压 27.71 V 的 33%。

现在拖动转速滑块，观察各曲线的交越点。

静止状态下，电机就是一个纯电阻。 $ω_{e} = 0$ 直接消去了三个分量中的两个。此时逆变器所做的只是推动电流流过 0.35 Ω 的电阻，它输出的每一伏电压都转化为热量。
电阻压降项根本不随转速增长。 在整个转速扫描范围内它都恒为 3.50 V，因为它只取决于电流。
在该电流下，反电动势在 983 rpm 时超过电阻压降，并随转速继续攀升：到 6000 rpm 时反电动势已达 21.4 V，而电阻压降仍为 3.50 V。此时电机已经变成一台发电机，逆变器必须顶着它的反电动势往里推电流。

穿越转速并非仅由电机本身决定——它是 $ω_{e} = R_{s} i_{q} / λ_{m}$ ，因此会随电流变化而变化。在40 A时，电阻压降为14 V，反电动势要到3932 rpm才超过这一值。重载电机保持电阻主导特性的时间是轻载情况的四倍。 这就是为什么一台在轻载工况下表现完美的驱动器，在重载时可能会出乎意料，反之亦然。

在试验台上将 $i_{q}$ 提高到 40 A，可以看到总电压曲线在 2662 rpm 处就越过了 $V_{d c} / 3$ 限制线。而在 10 A 时，这一交越点要到 6394 rpm 才会出现。基速并不是电机自身固有的参数——它是由电机、负载和直流母线共同决定的数值，脱离转矩单独谈基速毫无意义。达到基速之后的应对策略详见弱磁控制。

在转速扫描中还隐藏着第三种效应。将 $i_{q}$ 设为 40 A，转速推至 3000 rpm：此时交叉耦合项高达 $- 16.6$ V，而反电动势仅为 10.7 V。在大电流下，两轴之间的交叉耦合项甚至大于反电动势本身。 如果电流环把交叉耦合当成只靠积分器去抑制的小扰动，就等于让积分器去追赶占总电压三分之二的偏差。在这种工况下，前馈解耦绝非锦上添花的细节，而是决定电流环能否跟上指令的关键。

代码中的模型

每个控制周期的完整电气模型：

/* Cross-coupling and back-EMF are known, so subtract them and what remains
   is a plain R-L load on each axis — which is what the PI is tuned for. */
const float we = pole_pairs * omega_m;

float vd_ff = -we * Lq * iq;
float vq_ff =  we * (Ld * id + flux_m);

vd = pi_update(&pi_d, id_ref - id) + vd_ff;
vq = pi_update(&pi_q, iq_ref - iq) + vq_ff;

关于这四行代码有两点值得注意：第一，前馈项使用的是正交轴上的实测电流，而非参考电流，因为它要补偿的是实际流过绕组的电流；第二， $L_{d} i_{d} + λ_{m}$ 这一组合是有意写在一起的：括号内就是 d 轴总磁链，将 $i_{d}$ 控制为负值以削减该磁链就是弱磁控制——从一开始它就自然地包含在模型之中。

测量四个数值

模型的精度完全取决于其参数，而数据手册对于这四个参数来说都不可靠。identify.ts 中包含了标准的台架测试流程，网站上的测试会将每个参数与仿真模型进行对比，并验证参数是否能够正确返回——而这正是在真实台架上无法做到的，因为在真实的台架上你没有可供比较的“真值”。

$R_{s}$ —— 以及 2 倍系数陷阱

对两个端子施加直流电压并进行测量。电流会流经 两个绕组串联，因此读数是单相值的两倍：参考电机的 0.35 Ω 在仪表上显示为 0.700 Ω。同样的倍率也适用于 LCR 电桥测得的电感值——210 µH 会显示为 420 µH。

这是最常见的一个参数错误，而且没有任何报错提示。两个电流环所使用的电阻值都会变成真实值的两倍，两个积分增益也随之偏差 2 倍，但系统依然能转——只是动态响应与设计预期完全不同。

$L_{d}$ 与 $L_{q}$ —— 以及不受控的转子角度

锁定转子，施加一个电压阶跃，电流会以时间常数 $L / R$ 上升至 $V / R$ 。一次阶跃即可同时得到这两个参数。

陷阱在于你测出的究竟是哪一个电感。在转子锁死的情况下，测量结果取决于转子恰好停在什么角度：

L (θ) = \frac{L _{d} + L _{q}}{2} - \frac{L _{q} - L _{d}}{2} cos 2 θ

与 d 轴对齐时读数为 210 µH；转过四分之一个电周期（90° 电角度）后读数为 330 µH。若恰好停在 45° 电角度，读数则是 270 µH——正好是两者的平均值，既不是 d 轴电感也不是 q 轴电感，但看起来却完全合理。在未知转子角度下做出的单次堵转测量结果绝不是电机参数，它只是介于两个参数之间的某个数。 可靠的做法是让转子步进扫过一个完整的电周期，分别取最小值和最大值。

在试验台上拟合阶跃响应时，采样率的影响比表面看起来更大。在 20 kHz 采样率下，参考电机 600 µs 的 d 轴时间常数内恰好只有 12 个采样点；如果直接取最接近 63.2% 穿越点的采样点，而不对跨越该点的前后两个采样点进行线性插值，在 12 个采样周期中最多会引入半个采样周期的误差——在计入任何测量噪声之前， $L$ 就已经有了约 4% 的偏差。fitStepResponse 采用了线性插值。

转子也必须真正地被固定。任何运动都会产生反电动势，从而破坏响应的尾部，并使拟合得到的电感值偏低。

$λ_{m}$ —— 步步是单位换算陷阱

用其他装置驱动电机旋转，保持端子开路，并测量电压。由于没有电流流过，因此不存在电阻压降或电感压降，所以端子电压是就是反电动势，而 $λ_{m} = V_{peak,phase} / ω_{e}$ 。

从仪表到参数之间存在三个单位换算，而每一个换算因子都容易被忽略：

读数	乘以	原因
线电压（线间）	$1/ 3$	需要转换为相电压
有效值（RMS）	$2$	需要转换为峰值
机械转速	$p$	需要转换为电角速度

如果三个换算系数全都漏掉，结果会相差 4.9 倍。只漏掉其中一个，偏差则大到足以影响控制性能，却又小到不易察觉。参考电机的 8.5 mWb 对应于 4.36 V/krpm 的线电压有效值，这正是数据手册最常给出的反电动势常数形式——在采信任意一个数值之前，最好先做一次双向换算比对。

当电机旋转时，统计每转的电周期数，并确定极对数：4极对、1500转/分时，电频率为100 Hz。如果极对数错误，驱动器将以一个精确的整数倍速运行，这至少是一个明显的特征。

然后一切都会随温度变化

这四个都不是常数。

铜的电阻每开尔文增加0.393%。 一个在25 °C下测量并在125 °C下运行的绕组，其电阻增加了39%——0.35 Ω 变为 0.488 Ω。在一个低温状态下调谐的电流环，在工作二十分钟后就会失谐。
钕铁硼永磁体的磁链每开尔文约衰减 0.12%，且这一变化是可逆的。温升 100 K 时磁链会减少约 12%：从 8.5 mWb 降至 7.48 mWb。这意味着每安培电流产生的转矩减小，但同时会带来更高的基速——这是热效应反而有利的罕见情形。
$L_{d}$ 和 $L_{q}$ 都会随电流增大而减小，因为铁心会逐渐磁饱和。正因如此，注重精度的量产驱动器通常会使用在测功机上实测出的二维查找表（2-D LUT），而不是只用两个常数。

关键不在于对所有细节进行建模，而在于明确哪些结论是精确的，哪些只是名义值，这样意外才会出现在你预料的位置。

在试验台上一组自洽的参数还应满足功率平衡，这是一个现成的校验方法。在 1500 rpm、10 A 时，模型吸收 $\frac{3}{2} (v_{d} i_{d} + v_{q} i_{q}) = 132.6$ W 的电功率，向电机轴输出 80.1 W，绕组损耗为 52.5 W；80.1 + 52.5 恰好等于 132.6。这里的 $\frac{3}{2}$ 是幅值不变约定下的功率系数，转矩方程中也有同样的系数，其来源可追溯到空间矢量页的三相绕组合成磁动势。若实测功率不平衡，应先检查这个系数。

要点回顾

四个参数—— $R_{s}$ 、 $L_{d}$ 、 $L_{q}$ 、 $λ_{m}$ ——承载了整个电气模型。下游的所有计算均由此衍生。
$ω_{e} ψ$ 项代表的是旋转坐标系带来的代价，并非新的物理现象。它们使系统在稳态下能够保持恒定的dq电流。
在内置式永磁转子上 $L_{q} > L_{d}$ ，因为 q 轴磁路避开了永磁体。因此两个轴具有不同的时间常数，需要设置不同的电流环增益。
哪个项占主导会随工作点而变化：静止时以纯电阻为主，983 rpm以上且电流为10 A时反电动势占优，而在大电流下交叉耦合效应甚至大于反电动势。一套方程，三种不同的工作状态。
交越转速和基速都取决于负载电流，因此它们都不是电机单独具有的固有属性。
测量电机参数的关键在于不要漏掉换算系数：线间测量需除以 2，反电动势换算需计入 $3$ 和 $2$ ，电角速度需乘以极对数 $p$ ——而在未知转子角度下测出的电感根本不是电机参数。

接下来：这些电压究竟在产生什么——以及为什么在凸极电机上， $i_{d} = 0$ 并不是最佳答案。