标幺值与缩放

每一台量产驱动器都会做、但大多数教程却直接跳过的两项基础换算。它们本是两个独立的概念，却总是配合使用，因为它们恰好解决了同一个问题的两半：国际单位制（SI）既不便于直观分析控制器参数，也不便于在微控制器中高效运算。

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两次归一化处理，按此顺序依次应用。将两者分开处理，使得你可以在不调整任何一个控制器增益的情况下改变 ADC 的缩放系数。

标幺值：将所有物理量除以其基准值

选定三个基本基准值——电流、电压和转速——并将所有物理量表示为相应基准值的比值（即标幺值）。其余物理量的基准值均可由此导出：

Z_{ba se} = \frac{V _{ba se}}{I _{ba se}}, L_{ba se} = \frac{Z _{ba se}}{ω _{ba se}}, λ_{ba se} = \frac{V _{ba se}}{ω _{ba se}}

对于参考电机，取基准电流为 40 A、基准电压为逆变器线性区电压上限 $V_{d c} / 3 = 27.71$ V、基准转速为 3000 rpm：

基准量	数值
电流	40 A
电压	27.71 V
转速	1257 弧度/秒（电角度，即 3000 转/分钟）
阻抗	0.693 Ω
电感	551 µH
磁链	0.0221 Wb
转矩	5.29 N·m
功率	1663 W

而电机本身则被转化为一组无量纲数值：

R_{s} = 0.505, L_{d} = 0.381, L_{q} = 0.599, λ_{m} = 0.385

现在各参数的量级都在 1 附近。这并非形式上的好处，而是能让错误的数值显得不合理。标幺值电阻为 0.505，显然像一台正常电机；若为 8.0，则明显异常。以国际单位制表示时，若不了解电机，仅凭 0.35 Ω 无从判断。

在试验台上基准值只是一种约定，并非事实；如果不明确所使用的基准值，标幺值就没有意义。请将基准值与常数一同标注。最常见的标幺值错误并非算术问题，而是两位工程师分别使用峰值电流和有效值电流作为基准，却都未予说明。

优势：一次整定，多机复用

取另一台电机：电阻和电感都是原电机的四倍，磁链是两倍；再把它的基准电流设为原电机的一半、基准电压设为两倍。这样得到的标幺值描述与原电机相同。本站的测试验证了这一点，数值误差低于 1e-12。

因此，同一组控制器参数在两台电机上都能正常工作。物理参数截然不同的电机，却可以使用同一组控制增益，因为在标幺值体系下它们是同一台电机。这正是引入这套额外换算的全部理由，也是电机控制库普遍采用标幺值编写的原因。

时间常数的关系同样得以保留：

τ_{d} = \frac{L _{d}}{R _{s}} = \frac{0.381}{0.505} = 0.754 per-unit time

换回国际单位制后，时间常数是 600 µs，恰好等于 $L_{d} / R_{s}$ ，符合预期。

在试验台上建议将电压基准值选为逆变器的线性区上限 $V_{d c} / 3$ ，而非 $V_{d c}$ 。这样一来，1.0 标幺值的调制比就精确对应“线性调制区的边界”，任何大于 1.0 的电压指令都能一眼识别为过调制，无需任何额外换算。

定点数：在硬件中表示标幺值

标幺值使所有量都接近于 1。定点数是在没有浮点运算单元的处理器上存储接近 1 的数值的方式——将其表示为整数，并隐含一个二进制小数点。

Qn 表示小数点后有 n 位。下面两个性质尤其重要：

resolution = 2^{- n}, range = \pm 2^{b - 1 - n}

对于一个b位的字而言，分辨率与动态范围成反比，具体选择取决于小数位的分配位置。

格式字长整数位

信号幅值基准电流溢出时回绕

基准电流是驱动器的额定峰值相电流——小型工业伺服为5 A，电动自行车或叉车驱动则为200 A。调整该值改变的是所针对的驱动器规格，而非本页所示的电机；它仅决定了一个最低有效位（LSB）在安培单位下的数值。

以所选格式存储一个电周期。下方的误差曲线具有独立的刻度——通常比上方的信号细数千倍——因此能够清晰显示。勾选溢出时回绕复选框，并将幅值推至超出限制。

Q15 没有裕量，这正是陷阱所在

对于16位字，显而易见的选择是Q15格式：全部15个非符号位均为小数位。该格式可提供极高的分辨率——在40 A基准下为1.22 mA——且动态范围恰好为 $[- 1, 1)$ 。

请注意括号。Q15 无法表示 1.0。 任何可能合法达到或超过额定值的标幺值都会溢出：

阶跃过程中的电流瞬态，
过调制时的电压请求，
发生积分饱和的积分器，
1.0 标幺值的转矩需求。

解决办法是留出一位表示整数部分。16 位 Q14 格式的可表示范围为 $\pm 2.0$ ，分辨率为 2.44 mA：精度减半，余量加倍，额定值处不再溢出。对于 32 位处理器，这个问题基本消失；Q24 的范围可达 $\pm 128$ 标幺值，分辨率为 0.002 mA。

格式	范围（标幺值）	在40 A时的分辨率	0.8 标幺值时的信噪比
16 位 Q15	±1.0（不含 +1.0）	1.22 mA	96 dB
16 位 Q14	±2.0	2.44 mA	90 dB
32 位 Q24	±128	0.002 mA	150 dB

溢出时饱和处理，绝不回绕

这种错误可能损坏硬件。

采用饱和格式时，1.2 标幺值的电流发生溢出后会被记作 1.0——虽然有 17% 的误差，但符号和数量级都是正确的。控制器认为电流偏小，只会稍微加大输出，系统仍可恢复。

当一个回绕格式的数值发生溢出时，1.2 pu 会被读作 −0.8。符号发生了反转。此时控制器会认为电流流向相反，并进一步加大驱动，使其沿原方向继续流动。这并非简单的测量精度下降，而是一种失控现象，且会在一个控制周期内发生。

该图显示了差值。以40 A为基准时，1.3 pu的信号对应52 A，这是一个合理的暂态值，以Q15格式存储：

溢出行为	最坏误差
饱和	12 A
回绕	80 A

情况几乎恶化了七倍，而且指向了错误的方向。勾选 溢出时回绕，并将幅值推过极限，即可观察到波形反相。然后将 整数位 设置为 1——即 Q14 格式，量程 ±2.0——误差便降至 1.2 mA，因为数值仍在范围内。

在试验台上 C 语言内置的整数运算默认会发生溢出回绕。饱和处理必须显式指定——要么调用饱和内联指令（如 Cortex-M 上的 __SSAT，或 DSP 扩展指令集中的饱和乘累加指令），要么在每次写入存储前显式执行限幅（clamp）。每一处将标幺值截断为较窄位宽的地方，都必须逐一检查。

缩放不会凭空增加精度

一种格式只有在信号满量程时才能提供其标称分辨率。在满量程的十分之一处，你会损失超过三位——信噪比下降20 dB，有效字长比你购买的规格短了三位。

实际后果是：应将电流基准值选取为接近你实际要测量的最大电流，而非某个遥远的绝对最大值。如果按你希望永远不会出现的故障电流来设定基准，那么其分辨率的大部分都将用于表示那些你根本不会遇到的数值。

单位换算应当放在何处

可行的模式是在边界进行归一化，并在内部所有地方都以标幺值进行计算：

/* Edge: ADC counts -> per-unit, once, on the way in. */
const q15_t i_a = mul_q15(adc_a - offset_a, ADC_TO_PU);

/* Interior: everything is per-unit and dimensionless. */
foc_step(i_a, i_b);

/* Edge: per-unit -> compare register counts, once, on the way out. */
timer->CCR1 = mul_q15(duty_a, PWM_PERIOD_COUNTS);

两次单位转换都发生在边界处，而控制算法中从未出现过任何单位。另一种做法——在控制回路内部反复进行单位转换——则容易引入缩放误差，因为每次转换都有可能使用错误的基准，而且这些转换在方程中完全不可见。

在试验台上在编写任何代码之前，先在纸上完成标幺值体系的设计，并将基准值表作为注释写在常量定义旁边。几乎所有的缩放错误归根结底都是账目管理失误：有人混用了属于另一个物理量的基准值，而算出的结果又看似合理，就这样一路混进了量产代码。

要点回顾

选定三个基本基准值——电流、电压、转速——其余所有基准值均可由此导出。务必将它们明确记录在注释中。
采用标幺值时，各电机参数均接近 1，因此错误的数值会显得尤为明显。
两台物理特性不同的电机，若采用相同的标幺值描述，则可使用相同的控制器参数。这正是采用标幺值的意义所在。
将电压基准设为 $V_{d c} / 3$ ，使得 1.0 标幺值表示“线性区的边界”。
16位的Q15格式无法表示1.0。要么预留一些裕量，要么采用32位格式，这样就不会出现这个问题。
溢出时进行饱和处理。溢出回绕会导致符号反转，而符号反转的电流会造成失控，而非错误。
一种数据格式只有对满量程信号才能发挥其标称分辨率。应根据实际要测量的电流来设定基准值，而不是根据你担心的极限故障电流。

接下来可以先读空间矢量；如果已经读过，就前往Clarke 与 Park 变换，了解如何控制这个矢量。