速度环与位置环

几乎没有人真正需要电流，他们需要的是速度或位置。电流环是级联控制中最内层的一环——三个嵌套的环路，每一个都围绕着内部的环路进行闭环。

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每个外环都将紧邻的内环视为理想执行机构。环路带宽由外向内依次递增（10 Hz → 50 Hz → 1 kHz），而电机物理模型自带的两次积分——转矩积分为转速、转速积分为位置——正是外环真正控制的对象。

每个环路都对内层环路进行控制，并将其视为理想的执行器。这一假设使设计变得可行，但只有当内环的速度远高于外环时才成立。本页的所有内容都由此推导而来。

为什么要采用级联结构

仅用一个控制器将位置误差映射到电压是可行的，但没有人会这样做。原因有三：

限幅处于恰当的位置。 电流限幅是一项物理硬约束——用于保护逆变桥和永磁体。在级联结构中，它就是速度环的输出限幅，单位直接就是安培。而在单一整体式控制器中，内部根本没有一个代表电流的信号，因此限幅无处安放。

每个环路可以逐级独立调试。 先整定并验证电流环；然后在已知可靠的内环之上闭合速度环；最后闭合位置环。任何一个阶段出现问题，原因都很单一明确。反之，面对一台随时可能失控损坏的电机，同时去调三个相互耦合的环路增益，则是完全不同的体验。

扰动在进入系统的位置即被抑制。 负载转矩扰动直接作用于转速，由速度环直接感知并抑制；反电动势的变化则由电流环就地抑制，速度环甚至无需感知。

速度环

从 q 轴电流到机械转速的传递函数是一阶的，与电气部分完全一致：

\frac{ω _{m}}{i _{q}} = \frac{k _{t}}{J s + B}, k_{t} = \frac{3}{2} p λ_{m}

对于参考电机， $k_{t} = 0.051$ N·m/A。同样的零极点对消原理给出 $k_{p} = ω_{c} J / k_{t}$ 和 $k_{i} = ω_{c} B / k_{t}$ 。

只不过这次不应使用它。

在实验台上机械极点 $B / J$ 极小——对于几乎所有实际电机而言都只有零点几赫兹，而对于带典型负载的基准电机更是只有 0.0004 Hz。若照搬零极点对消，算出的积分增益将小到需要好几秒钟才能抑制住一次负载阶跃。

因此，速度环的零点必须人为刻意配置（通常设在穿越频率的五分之一处），设计方法也不再是零极点对消。这在实际工程中是常态：电流环里那套干净利落的对消法，一旦遇到极点几乎在直流（DC）处的被控对象便不再适用。

带宽分离是核心设计准则

外环控制器假定内环是瞬时响应的。在实际的串级系统中进行测量——50 Hz 的速度环套在带宽各异的电流环之上，阶跃输入较小以避免饱和：

电流带宽	带宽比	转速超调
1500 Hz	30×	12.4%
500 Hz	10×	12.4%
250 Hz	5×	13.5%
150 Hz	3×	16.5%
100 Hz	2×	22.9%
75 Hz	1.5×	29.8%

带宽比达到十倍及以上时几乎没有任何代价——内环确实形同透明。降到五倍时开始付出代价。低于三倍时，内环自身的动态延迟已侵入外环穿越频率之内，导致转速超调量翻倍不止。

每级带宽相差五到十倍就是级联设计的黄金法则，其依据正在于此。以 1 kHz 的电流环为基础，速度环带宽大约可设为 100–200 Hz，而位置环则在 20 Hz 以下。

环路转速带宽电流带宽

指令目标电流限幅

选项编码器 CPR 抗积分饱和前馈

套在真实电流环之外的真实速度环。上图：转速响应。下图：速度环所请求的电流与电流环实际输出的电流——当两条曲线重合时，级联控制的假设成立。将 电流带宽 向下拖近速度环带宽，观察两条曲线如何逐渐剥离。

速度环在每次启动时都会饱和

这就是速度环与电流环之间的差异，也是最容易让人困惑的地方。

电流环只是偶尔饱和——例如在大阶跃或接近基速时。而速度环在每一次显著的转速变化过程中都会饱和，因为正是电流限幅决定了最大加速度的物理上限。一旦给定 1500 rpm 的阶跃指令，速度环会立即请求极大的电流，撞上电流限幅，并在整个加速阶段一直顶着限幅运行。

因此，这里的抗积分饱和并非一种改进，而是能否正常工作的分界线：

	超调	调节时间
采用抗积分饱和	6.9%	140 ms
无抗积分饱和	57.8%	228 ms

速度指令的超调量达到 58% 并不是通过降低增益就能解决的整定问题——这是积分器在 74 ms 内积累了大量无法消除的误差所致。解决方法与电流环所采用的反向计算相同。

在实验台上这里还有同一陷阱的第二种更隐蔽的形式。当内环饱和（即电流环达到电压限幅）时，速度环所请求的电流实际上已无法兑现，但没有任何机制告知速度环。由于速度环自身的输出并未触及电流限幅，它自己的抗积分饱和永远不会触发，积分器照样发生饱和。

稳健的级联系统会将内环的饱和标志向外传递，使得当下一级环路已失去调节能力时，本级环路即停止积分。这正是图中下方所示的内容：当“请求”与“实际输出”一致时，假设成立；当两者出现偏差时，速度环正在调节一个并未真正发生的现象。

前馈零代价，却常被忽略

反馈仅作用于误差，因此跟踪斜坡信号的闭环总是存在滞后——这就是“误差驱动”的含义。如果加速度已预先知道（在由运动轨迹生成指令时总是如此），则可以直接将所需的电流叠加到目标值上：

i_{q}^{f f} = \frac{J ω ˙ + T _{l o a d}}{k _{t}}

这不会改变环路的传递函数，因此也不会引起任何不稳定。它只是让反馈路径的工作量减少。这是串级控制中成本最低、却最常被忽视的性能提升手段。

位置环只需要比例控制

在内含正常工作的速度环路的情况下，从速度给定到位置的系统可视为一个纯积分环节。因此，仅采用比例控制即可构成一阶闭环，且无超调，同时 $k_{p} = ω_{c}$ 。

在此处引入积分作用通常是错误的。被控对象本身已经具有积分特性，因此不存在需要积分器消除的稳态位置误差；而再增加一个积分环节则会额外引入90°相位滞后，并极易引发伺服驱动器所常见的持续振荡现象。

在实验台上唯一的例外是存在恒定负载转矩（例如垂直Z轴受重力作用），此时纯比例控制确实会产生稳态位置静差。但即便如此，更好的办法通常也是加入负载转矩前馈，而非引入积分项去慢慢消除它，因为前馈不会牺牲任何相位裕度。

速度的来源

速度环需要转速反馈，但编码器测量的是位置。对量化信号求导，带来的麻烦正如听起来一样棘手。

在固定时间窗口内对脉冲边沿计数（M 法测速），算出的转速必然以固定步长发生量化：

Δ ω = \frac{2 π}{CPR \times T}

这一量化步长与转速高低完全无关。因此，随着电机转速降低，量化步长占实际转速的比例会越来越恶劣：

编码器	量化步长（1 ms 窗口）	达到 1% 精度的最低转速
500 CPR	120 rpm	12000 rpm
1000 CPR	60 rpm	6000 rpm
4000 CPR	15 rpm	1500 rpm

一个每毫秒采样一次的 1000 CPR 编码器，其测速分辨率只有 60 rpm。在 100 rpm 下，该转速估计值已几乎不可用，而且任何后端滤波都无法凭空恢复根本未曾采集到的信息。

标准方案是切换测速方法：高速时对脉冲边沿计数（M 法），低速时则改为测量相邻边沿之间的时间间隔（T 法），此时量化变量与连续变量的角色互换。如何妥善处理两种方法之间的切换过渡——以及切换点处噪声特性的不连续跳变——是一项实打实的工程课题，绝非可有可无的注脚。

在实验台上对转速估计值加低通滤波是最常见的本能反应，但绝非没有代价：任何加在反馈通道上的滤波器都处于闭环回路之内，其相位滞后会直接扣减速度环的相位裕度。一台必须靠重度速度滤波才能压住噪声的驱动器，实际上已经把大部分动态带宽拱手让出了。与其加滤波，不如换更高线数的编码器。

要点回顾

采用串级控制是因为它能将限制放在合适的位置，允许逐个回路进行调试，并在扰动进入的地方予以抑制。
速度环节是一阶系统，但其极点位于直流处。应主动设置控制器零点，而非试图将其抵消。
每级之间应使带宽相差五到十倍。十倍并无额外成本；若低于三倍，超调量将加倍。
速度环在每次启动时都会饱和，因此抗积分饱和是结构性措施，而非后期优化——开启抗积分饱和时超调为 6.9%，关闭时为 57.8%。
将内环的饱和状态向外环传递，否则当内环受限时，外环积分器仍会继续累积饱和。
将加速度和负载前馈引入系统。这不会影响稳定性，并消除了反馈无法消除的滞后。
位置环需要比例控制，而不是比例积分控制。被控对象本身已经具有积分特性。
脉冲计数式编码器以固定步长量化转速，因此在低速区必然失效。滤波无法恢复丢失的分辨率，提高编码器线数（或改用测周期法）才可以。