无位置传感器估算

磁场定向控制需要转子角度。到目前为止，本网站的所有内容都假定你已经获得了该角度——无论是来自编码器、旋转变压器还是霍尔传感器。

很多时候这是做不到的。传感器的成本往往高于控制器，其电缆又是整机中最不可靠的部件，而在密封泵或压缩机中甚至无处安装。因此问题变为：能否仅凭驱动器已知的两项信息来推算角度——即所施加的电压和由此产生的电流？

大多数情况下是可以的。本页将介绍如何实现，以及无法实现的区域——那并不是需要通过工程手段消除的空白，而是物理规律的必然结果。

核心思路

这里的每个观测器都基于同一个方程。在静止坐标系下，电机的端子电压满足

v_{α β} = R_{s} i_{α β} + L \frac{d i _{α β}}{d t} + e_{α β}

前两项是可以计算出来的—— $R_{s}$ 和 $L$ 已知， $i$ 由采样测得。剩下的部分就是转子磁钢扫过定子绕组所产生的反电动势 $e$ 。它与永磁体磁链方向垂直，因此它的方向就给出了转子角度：

e_{α β} = v_{α β} - R_{s} i_{α β} - L \frac{d i _{α β}}{d t}

这就是整个思路。下面的所有内容都是在不计算该导数的情况下提取 $e$ 的方法，因为对测量电流进行微分会严重放大噪声。

而这里的限制则体现在物理特性上，而非任何具体实现：

∣ e ∣ = p ω_{m} λ_{m}

信号是与转速成正比的。在零转速时，反电动势完全为零，因此无法观测到任何信号。对于参考电机而言，在1800 rpm时为6.41 V，在300 rpm时为1.07 V，在150 rpm时为0.53 V——此时其大小已与逆变器自身的死区时间误差以及 $R_{s} i$ 中的不确定性相当。本章中没有任何观测器能够避免这一问题。

角度跟踪：锁相环

下面的两个观测器都会生成一个空间矢量，并需要其角度。显而易见的答案是使用atan2，但这是错误的做法——它会将所有噪声直接传递到角度计算中，并且无法提供速度估计。

取而代之的是一个锁相环，它驱动内部角度，直至观测到的矢量误差为零。由于环路中包含积分环节，输出平滑，速度估计也随之获得，且当信号短暂丢失时，系统会保持惯性运行而非突变。

误差信号的构造非常巧妙。如果角度估计准确，反电动势矢量将完全落在估计的 q 轴上，d 轴分量为零。因此，归一化后的残余 d 轴分量就是角度估计误差：

ε = - \frac{e _{d}}{∣ e ∣} = - sin (\hat{θ} - θ) \approx θ - \hat{θ}

将该误差送入 PI 调节器并积分即可得到估计角度。由于只有矢量的方向起作用，锁相环（PLL）对信号幅值完全不敏感——哪怕信号弱上一百倍，也能锁定到完全相同的位置。

观测器 1：磁链观测器

与其对电流求导，不如对电压积分。定子磁链为

ψ_{s} = \int (v_{α β} - R_{s} i_{α β}) d t

而由转子磁体贡献的部分，则是在扣除定子电流自身产生的部分后剩余的：

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无需新增硬件——输入就是实测电流与控制器所请求的电压，因为驱动器本来就没有电压传感器。每一步都只是减法或积分，唯一需要整定的参数就是截止频率——而这也是唯一会引入误差的地方，因为被迫采用的漏积分器在相位上会超前于理想积分器。

ψ_{r} = ψ_{s} - L i_{α β}

$ψ_{r}$ 沿 d 轴方向，因此其角度即为转子角度，全程无需求导。

积分器是问题所在

纯积分器无法直接应用于硬件。测量电流或假设电压中的任何直流偏移——哪怕只有毫伏级、微安级——都会无界累积，使估计值在数秒内迅速发散。

通用的解决方法是将积分器改为漏积分器（一阶低通环节）：将 $1/ s$ 替换为 $1/ (s + ω_{c})$ 。这相当于引入了高通滤波特性，从而限制住直流漂移。

但它也会引入相位误差，且误差方向很容易让人弄反。理想积分器在任何频率下都会产生精确的 $- 90°$ 相移；而漏积分器的相移为 $- arctan (ω_{e} / ω_{c})$ ，因此其输出相对于真实磁链超前了：

90° - arctan (\frac{ω _{e}}{ω _{c}}) = arctan (\frac{ω _{c}}{ω _{e}})

当截止频率设为 20 Hz 时，在 200 Hz 电频率下相位超前 5.7°，在 120 Hz 下为 9.5°，在 60 Hz 下则达 18.4°。由于该相移是转速的已知函数，因此可以通过角度旋转将其补偿掉——但必须向后（往滞后方向）旋转，因为滤波器产生的是相位超前而非滞后。如果按直觉方向去补偿，反而会让误差翻倍。

试验台可以直接测量这一点。关闭 补偿相移:

转速	已校正	未校正	预测的超前量
900 rpm	4.2°	20.0°	18.4°
1800 rpm	4.0°	12.7°	9.5°
3000 rpm	3.9°	9.2°	5.7°

在实验台上请注意，校正后的角度误差在所有转速下都恒为 4° 左右，而不是零。这一残余误差既不是噪声，也不是参数没调好，而是源于凸极效应（Saliency）。观测器用单一电感 $L$ 去扣除定子磁链，但凸极电机在两个轴上分别呈现 $L_{d}$ 和 $L_{q}$ 。电感失配会在垂直于永磁体磁链的方向上留下 $(L_{q} - L_{d}) i_{q}$ 的残余磁链，从而将估计角度偏转：

arctan (\frac{( L _{q} - L _{d} ) i _{q}}{λ _{m}})

对于基准电机，在 6 A 电流下该偏角为 4.8°；本站测试也证实该误差随 $i_{q}$ 成比例变化，且在 $L_{d} = L_{q}$ 的表贴式电机上完全消失。这是一种随负载变化的角度误差：观测器在轻载时比在重载时更准。

观测器 2：滑模观测器

同时运行一台电机的电流模型和实际电机，并通过与电流估计误差符号成比例的开关项对其进行控制：

\frac{d i ^}{d t} = \frac{1}{L} (v - R_{s} \hat{i} - z), z = K sat (\frac{i ^ - i}{δ})

如果 $K$ 超过了反电动势的峰值，估计误差会被强制置零并保持在该值——即在误差为零的平面上进行估计滑动。一旦发生这种情况， $z$ 必须恰好补偿模型所缺失的部分。因此， $z$ 就是反电动势，无需对任何信号进行微分即可恢复。

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其结构形态与磁链观测器截然不同。底部的反馈回路在磁链观测器中是没有对应物的——该观测器对自身的电流估计值进行闭环，因此其误差会自我反馈。注意这里的反电动势恢复滤波器会产生相位滞后，而磁链观测器的漏积分器产生的是相位超前：两者的相位补偿方向完全相反。

滑模控制以其对参数误差的不敏感性而著称，这正是其吸引力所在。但随之而来的是两个代价：

存在抖振（Chattering）。 $z$ 是一个高频切换信号，因此需要低通滤波器才能恢复出平滑的反电动势，而该滤波器会产生 $arctan (f_{e} / f_{c})$ 的相位滞后——在 300 Hz 截止频率、120 Hz 电频率下滞后达 21.8°。这是真正的相位滞后，因此角度补偿应当向前超前旋转。本页的两个观测器需要方向相反的相位补偿，这正是为什么应当自己推导而非照搬代码。

切换增益必须兼顾整个转速范围。 切换增益 $K$ 必须大于最高转速下的峰值反电动势，但同一个 $K$ 在低速下相对于微弱的反电动势而言又过于庞大，导致边界层对估计值产生粗糙的量化效应。这正是下方对比实验中滑模观测器（SMO）比磁链观测器更早在低速区失效的主要原因。

比较结果

工作点转速 i_q

观测器高通滤波器截止频率补偿相移

逆变桥死区时间

两个观测器均在闭环中运行——控制器基于估计值进行调节，而不享有对真实角度的特权访问。上图：角度；中图：误差，带 ±10° 区间；下图：在整个转速范围内扫过的峰值误差，这才是关键的曲线。

扫频试验才是重点。对于参考电机，在6 A时：

转速	反电动势	磁链观测器	SMO
3600 rpm	12.82 V	3.8°	2.5°
3000 rpm	10.68 V	3.9°	3.7°
2400 rpm	8.55 V	3.9°	4.8°
1800 rpm	6.41 V	4.0°	9.4°
1300 rpm	4.63 V	4.1°	15.9°
900 rpm	3.20 V	4.2°	40.5°
600 rpm	2.14 V	4.2°	180°
400 rpm	1.42 V	60.6°	180°
250 rpm	0.89 V	48.2°	180°

从中可以得出三件事。

磁链观测器在失锁前表现十分平坦。 从 3600 rpm 一直降到 600 rpm，误差都平稳地保持在 4° 左右，随后在 600 至 400 rpm 之间发生断崖式失锁。它没有平缓劣化的过渡区可供调参挽救——能工作时很稳，一过临界点便直接崩溃。

SMO 在高速区占优，在低速区落后。 在 3000 rpm 以上，滑模观测器优于磁链观测器，因为滑模机制对参数失配不敏感，从而避开了磁链观测器因凸极性带来的 4° 固有底噪；但在 1800 rpm 以下，由于上述切换增益无法随转速缩放的原因，其表现远逊于磁链观测器。两者并没有绝对的优劣之分。

两者都会在反电动势降至约 1–2 V 时失效，对于本机而言对应几百 rpm——大约是额定转速的 10%–15%。这是一个非常值得记住的工程经验值，而且并不局限于这两种特定算法。

在实验台上加入 1.5% 的死区时间并观察中速区：在 1800 rpm 下，磁链观测器的误差仅从 4.0° 变为 4.6°——几乎毫无影响，因为 0.72 V 的死区误差面对 6.4 V 的反电动势微不足道。问题在于死区电压误差是固定不变的，而反电动势随转速下降而缩水，两者在低速区必然正面相撞。死区时间页所讲的低速问题与本页的低速问题，本质上是同一个问题，而且会同时发作。

从静止启动

如果观测器在几百转每分钟以下无法工作，而电机又是从零速启动的，那么它究竟如何才能起动呢？

三种方案都在生产中使用。

开环斜坡（I-f启动）。 忽略转子。在给定角度上施加一个电流矢量，并以递增的速度旋转该角度；如果负载足够轻，转子就会像步进电机一样被拖动跟随。一旦速度达到观测器能够锁定的程度，就进行切换。这种方法简单且通用，但在高惯量或高摩擦的负载下会失效，而且切换时需要谨慎——瞬间的不匹配会产生较大的瞬态响应。

初始位置检测。 在开始运动之前，先向多个方向施加短时电压脉冲，并比较电流响应。对于凸极电机，电感会随转子位置而变化，因此响应各不相同，通过这些响应模式即可确定角度——包括根据轻微的饱和不对称性判断哪个磁极为正极。这样就能确保沿正确方向平稳起动。

高频注入。 在基波信号之上持续注入高频信号，并利用由此激发的凸极效应来跟踪转子位置。这种方法确实能够在零速甚至带载静止状态下工作，因为它完全不依赖反电动势，而是利用了完全不同的物理特性。

关键在于，高频注入法并不是一个“更好的观测器”，而是完全不同的测量原理——利用凸极性而非反电动势——之所以换用它，正是因为本页所依赖的反电动势原理在零低速下已经山穷水尽。无论对上述反电动势观测器做多少改进，都无法延伸到静止状态，因为那里根本没有可供观测的反电动势信号。

代码实现

磁链观测器，完整形式：

/* Leaky integration of the back-EMF gives stator flux. */
const float decay = expf(-2.0f * M_PI * cutoff_hz * dt);
flux_a = flux_a * decay + (v_a - Rs * i_a) * dt;
flux_b = flux_b * decay + (v_b - Rs * i_b) * dt;

/* Remove the flux the stator current is making; the rest is the rotor's. */
float rotor_a = flux_a - Ld * i_a;
float rotor_b = flux_b - Ld * i_b;

/* Undo the leaky integrator's phase LEAD — note the negative sign. */
const float f_elec = fabsf(omega_est) / (2.0f * M_PI);
rotate(&rotor_a, &rotor_b, -atanf(cutoff_hz / f_elec));

/* Rotor flux points along d; the PLL wants a q-pointing vector. */
pll_update(&pll, -rotor_b, rotor_a, dt);

大约二十行代码和两个电机参数。无传感器控制的难点从来都不在于算法本身。

要点回顾

这一切都基于一个等式：凡是电阻和电感项无法解释的部分，就是反电动势，而反电动势指向转子。
使用 PLL 跟踪所得的空间矢量，而非使用 atan2。它能提供转速信息，抑制噪声，并在信号丢失时仍能保持稳定运行。
两个观测器都需要进行与转速相关的相位校正，且两者的相位关系为 相反方向——漏积分器超前，恢复滤波器滞后。
该电机的磁链观测器在低至600 rpm时仍能保持4°的恒定偏差；其下限由凸极效应决定，并随负载变化而变化。SMO在高速时更为精确，但在低速时则较早失效。
所有基于模型的控制方案在低速时都会失效，因为信号强度与转速成正比。通常会在额定转速的10%左右出现性能下限。
从静止启动需要完全不同的机制：开环斜坡、基于脉冲的位置检测，或高频注入。