空间矢量

Clarke 与 Park 变换一页开篇指出：三相电流可以用一个二维矢量描述。这个结论正确，却不直观。它源于三相绕组的空间布置，值得完整推导一遍；因为变换式和转矩方程中反复出现的 $3/2$ 与 $2/3$ 系数，也正是由此推导出来的。

它还回答了一个更基本的问题：为什么一定要采用三相？

核心物理量是磁动势

电机气隙中的关键量不是电流本身，而是磁动势——电流与匝数的乘积；它推动磁通穿过气隙。

实际的定子绕组分布在多个槽中，使其产生的磁动势沿气隙位置呈正弦分布，并在绕组轴线上达到峰值：

这里的 $x$ 是从 $a$ 相绕组轴线起、沿定子内圆周测得的位置角。$b$ 相和 $c$ 相采用相同的绕组结构，空间位置分别偏转 $\pm 120°$。

单个绕组无法使转子转动

只给 $a$ 相通入 $i_a=I\cos \omega t$ 形式的电流，则磁动势为：

峰值始终位于 $x=0$ 或 $x=180°$ 处。它从不移动——只是增长、坍缩并反向。这是一个驻波，而驻波无法产生方向一致的转矩。

三角恒等式精确地说明了原因：

一个脉动磁场是由两个幅值为一半的磁场以 相反 的方向旋转而形成的。它们分别以相同的力拉动转子，最终合力为零。

这就是为什么单相电机无法自行启动，也是为什么你所见到的每一台单相电机都采用某种技巧——启动绕组、电容器或罩极——来暂时削弱其中一个分量，以便选定旋转方向。

三个绕组使反向旋转的分量相互抵消

现在用一组平衡的信号同时激励三相。将三个分布叠加并整理后，会得到一个非常有趣的结果：

其中 $i_{\alpha }$ 和 $i_{\beta }$ 正是幅值不变（等幅值）Clarke 变换的分量。

三个正弦分布叠加后得到另一个正弦分布——没有谐波，也没有任何多余分量。只需幅值和角位置这两个量，就能将它完全确定。

这就是空间矢量。 它并不是一种仅用于电流的数学处理手段，而是电机中磁场的真实形态。该网站的测试套件对此进行了直接验证：对于平衡与不平衡的电流，叠加后的磁动势峰值均精确指向 Clarke 矢量所指的方向，误差小至 1e-12。

让其运行。合成矢量以恒定幅值旋转，而绕组本身并不移动。三个静止的线圈在时间中通入相位相差120°的电流，产生一个在空间中旋转的磁场。这就是多相电机的全部奥秘，它比磁场定向控制早了一个世纪。

现在勾选 仅单相。合成矢量不再旋转，只是沿 $a$ 相轴线往复脉动。再勾选 显示反向对转的两个半波，即可看到构成它的两个半波分量沿相反方向彼此追逐。

3/2 和 2/3 的来源

三个绕组各自的磁动势峰值为 $I$ 时，合成幅值为 $\frac{3}{2}I$，而不是 $3I$。因为三相绕组在空间上相隔 120°，各分量会部分抵消；三个相隔 120°、按 $\cos$ 加权的单位矢量相加，结果恰好是 1.5 倍。

这个系数会一路贯穿整个体系：

• 转矩公式含有系数 $\frac{3}{2}$：$T=\frac{3}{2}p[{\lambda }_m{i}_q+\dots ]$。
• 功率公式含有系数 $\frac{3}{2}$：$P=\frac{3}{2}(v_d{i}_d+v_q{i}_q)$。
• Clarke 变换的系数是 $\frac{2}{3}$：它恰好抵消前面的 $\frac{3}{2}$，使 $|i_{\alpha \beta }|$ 等于相电流峰值。

那一页所讨论的幅值不变（等幅值）与功率不变（等功率）约定选择，本质上就是决定把这个系数放在哪里：它总归要在某处出现，不同约定的区别仅在于将它放进坐标变换式还是功率方程。

为什么电机无法感知共模分量

将相同的电流注入三相，磁动势完全不会发生变化，因为三个空间余弦之和为零：

零序电流不产生磁场。由此可得到两个重要结论：

• SVPWM 的共模注入不会改变电机产生的磁场。对三相占空比同时加入共模项，可将线性调制范围提高 15.5%；电机无法感知这一项，因为它不产生额外磁场。
• 对于采用双分流电阻采样的驱动器而言，共模采样偏移是不可见的，而且无论实际情况如何，电流重构都会强制使三相电流之和为零。

为什么两相不行

两个相位相差 90° 的绕组同样会产生旋转磁场，而且数学表达会更简单——直接使用 αβ 坐标，完全不需要 Clarke 变换。

三相胜出是出于实际工程原因。在中性点隔离的三相系统中，三相电流之和必然为零，因此两根导线的电流即可决定全部三相，电机只需引出三根连接线；而两相电机则需要四根。三相是既能产生旋转磁场、又允许各相共用回流路径的最小相数。

此后再变换回两轴坐标系便毫无代价——电机磁场本来就是二维的，第三根导线从头到尾都只是为了凑齐回路与账目。

要点回顾

• 电机响应的是磁动势，而分布式绕组产生的磁动势在气隙中呈正弦分布。
• 一个绕组会产生驻波，即两个幅值为一半、反向旋转的磁场。无净转矩，因此无法自起动。
• 三个绕组彼此相隔120°，通入的时间也相差120°，其合成磁场呈单一正弦分布，并以恒定幅值旋转。
• 由于合成磁动势恰好呈正弦分布，两个数就足以完整描述它。它们组成空间矢量，具有明确的物理意义。
• 其合成结果是单个绕组峰值的 $\frac{3}{2}$ 倍。这一系数是本网站其他部分所有 $3/2$ 和 $2/3$ 的源头。
• 零序电流完全不产生磁场，这正是共模注入无需付出代价、共模偏移无法被察觉的原因。

接下来：Clarke 与 Park 变换——将本页刚刚推导出的空间矢量转换为两个可由 PI 控制器调节的数值。