公式速查

将全站推导过的核心公式汇总于一处，并统一遵循本站的符号约定：等幅值变换（幅值不变缩放）、单相等效参数，以及将 d 轴取在转子永磁体磁链方向上。

公式旁附带的实算数值是在构建本页面时直接调用 src/core 实时计算得出的，因此与各交互图表使用的数值完全一致，不会因手动抄录而出现偏差。

下载可打印速查表 PDF 格式，共两页，217 KB——由同一份源码排版生成，包含完全一致的参考数值。

坐标系与变换

Clarke 变换（等幅值形式）

i_{α} = \frac{2}{3} (i_{a} - \frac{1}{2} i_{b} - \frac{1}{2} i_{c}), i_{β} = \frac{1}{3} (i_{b} - i_{c})

系数 2/3 保证了变换后空间矢量幅值等于相峰值。在中性点悬空的三相系统中，第三相电流是冗余的。

Park 变换

i_{d} = i_{α} cos θ_{e} + i_{β} sin θ_{e}, i_{q} = - i_{α} sin θ_{e} + i_{β} cos θ_{e}

纯旋转正交变换，因此严格保持矢量模长与内积（点积）不变——从而保证功率表达式形式不变。

功率

p = \frac{3}{2} (v_{d} i_{d} + v_{q} i_{q})

系数 3/2 直接源于等幅值 Clarke 变换约定，绝非人为拼凑的修正系数。

电机

dq 轴电压方程

v_{d} = R_{s} i_{d} + L_{d} \frac{d i _{d}}{d t} - ω_{e} L_{q} i_{q} v_{q} = R_{s} i_{q} + L_{q} \frac{d i _{q}}{d t} + ω_{e} (L_{d} i_{d} + λ_{m})

交叉耦合项正是前馈解耦要抵消的目标；含 $λ_{m}$ 的项即为旋转反电动势。

转矩

T_{e} = \frac{3}{2} p [λ_{m} i_{q} + (L_{d} - L_{q}) i_{d} i_{q}]

电磁转矩由永磁转矩项与磁阻转矩项之和构成。对于本参考电机， $L_{q} > L_{d}$ ，因此注入负向 $i_{d}$ 会贡献额外的正向转矩。在 $i_{d} = 0$ 时，转矩常数为 0.051 N·m/A。

凸极比 $L_{q} / L_{d}$ = 1.57

特征电流

i_{c h} = - \frac{λ _{m}}{L _{d}}

决定了电机的整个弱磁运行包络线。若电机的额定电流能够达到或超过特征电流，理论上即可实现无限恒功率弱磁扩速。

参考电机上为 70.8 A

反电动势常数

K_{e} = \frac{3}{2} λ_{m} ω_{e, 1000}

每千转（1000 rpm）下的线间电压有效值（RMS）——这是电机数据手册最常给出的工程形式。从该值换算到单相峰值磁链 $λ_{m}$ 需要连过三道系数的转换。

逆变器

线性调制区电压极限

∣ v ∣_{ma x} = \frac{V _{d c}}{3}

空间矢量六边形的内切圆半径。纯正弦 PWM（SPWM）最高只能达到 $V_{d c} /2$ ——比 SVPWM 低 15.5%。

48 V 母线电压下：SVPWM 为 27.7 V，而 SPWM 仅为 24 V

SVPWM 矢量驻留时间

t_{1} = \frac{3 ∣ v ∣}{V _{d c}} sin (\frac{π}{3} - γ), t_{2} = \frac{3 ∣ v ∣}{V _{d c}} sin γ t_{0} = 1 - t_{1} - t_{2}

γ 为参考电压矢量在当前 60° 扇区内的夹角。各相实际的开关先后顺序由七段式对称开关字排布决定，而非取决于哪个基本矢量滞后。

死区时间电压误差

Δ v = \frac{t _{d}}{T _{s}} V_{d c} sgn (i)

误差电压的符号严格跟随相电流极性，因此在电角频率下表现为方波——经旋转变换投影到 dq 坐标系后表现为 6 倍电频率的纹波。

逆变桥总损耗

P = 3 I_{r m s}^{2} R_{d s (o n)} + 3 f_{pw m} V_{d c} \overline{∣ i ∣} t_{s w}

导通损耗（平方律）取决于相电流有效值（RMS）；开关损耗（线性律）取决于正弦电流绝对值的平均值（即 2/π ≈ 0.6366）。选用导通电阻 $R_{d s (o n)}$ 更低的开关管会使导通损耗与开关损耗相等的交叉频率点下移。

控制

电流环增益

k_{p} = ω_{c} L, k_{i} = ω_{c} R_{s}

零极点对消后，开环传递函数简化为纯积分环节，从而使闭环系统成为带宽为 $ω_{c}$ 的标准一阶低通环节。

参考电机 d 轴整定为 1 kHz 带宽时： $k_{p}$ = 1.319 V/A， $k_{i}$ = 2199 V/(A·s)

抗积分饱和跟踪增益

k_{a w} = \frac{k _{i}}{k _{p}} = \frac{R _{s}}{L}

反算抗积分饱和（Back-calculation）。若该增益设得过低，电压受限时积分器仍会继续失控饱和，只是发散得慢一些。

传输延迟决定的相位裕度

PM = 9 0^{\circ} - ω_{c} T_{d}

这就道尽了整定良好的电流环的全部稳定性规律：其相位裕度纯粹是一项时序延迟属性，而非增益属性。

1 kHz 带宽下，75 µs 的传输延迟对应 63° 的相位裕度

前向角度预测补偿

θ_{o u t} = θ_{m e a s u r e d} + ω_{e} T_{d}

可完全消除逆 Park 变换中随转速增大的角度滞后旋转偏差，但对闭环相位裕度没有任何改善作用。

级联环路带宽分离准则

\frac{ω _{inn er}}{ω _{o u t er}} \geq 5 to 10

内外环带宽比达 10 倍及以上时几乎不损失外环相位裕度，5 倍时开始显现耦合代价，低于 3 倍时外环阶跃超调量将翻倍。

传感与测量

下桥臂分流电阻采样窗口

t_{w in d o w} = (1 - d) T_{s}

随着某相占空比逼近 1，其下桥臂导通采样窗口逐渐收窄直至闭合。占空比最大的那一相会最先失去采样窗口。

模数转换器（ADC）分辨率与量化噪声

q = \frac{2 I _{f s}}{2 ^{N}}, σ = \frac{q}{12}

经 Clarke/Park 变换后，dq 轴量化噪声的有效值（RMS）为单相量化噪声的 $2/3$ 倍，而最大量化误差边界则为单个 ADC 码值（LSB）的 $2/3$ ——而非单相时的 1/2。

增量式编码器测速量化步长

Δ ω = \frac{2 π}{CPR \cdot T}

该最小测速步长与实际转速无关，因此随着电机转速降低，量化台阶占实测转速的相对误差比例会急剧放大。

直流母线电容纹波电流

I_{c a p} = I_{r m s}^{2} - I_{m e an}^{2}

这是严格精确的解析关系而非近似——直流平均分量与交流纹波分量彼此正交。母线电容电流有效值在调制深度接近一半（M ≈ 0.5–0.6）时达到峰值。

另请参阅符号约定与故障排查。