三相功率

电机采用三相而非单相是有原因的，且并非为了冗余。单相电源提供的功率会在每个电周期内两次在零与平均值的两倍之间波动；而三相对称电源则提供恒定功率。

不是近似恒定，也不是平均意义上的恒定。而是每一时刻都严格恒定。在转轴上，这种差异表现为：要么是平稳的转矩，要么是按电气频率两倍脉动的转矩——机械系统能够感受到这种脉动，而任何控制环路都无法消除它，因为它并非误差。

承载电流的相数

一相两相三相

负载相位滞后

一个电周期内的瞬时功率（峰值电压 24 V、峰值电流 6 A）。各相功率以浅色细线绘制，总功率为粗线。切换到一相时，总功率就是那条单独脉动的分相曲线；切回三相时，总功率曲线完全变平。接着拖动 相位滞后：单相功率曲线会跌破零——意味着功率从负载倒流回电源——而三相总功率依然保持平直，只是整体下移。

单相功率脉动至零

当电压和电流同频时，它们的乘积是

p (t) = \overset{v}{^} cos ω t \cdot \overset{}{^} cos (ω t - φ) = \frac{1}{2} \overset{v}{^} \overset{}{^} [cos φ + cos (2 ω t - φ)]

即一个常数项，加上一个频率为电源频率两倍的余弦项。在峰值 24 V、6 A 的条件下接入阻性负载，平均功率为 72 W，并在 0 W 到 144 W 之间往复波动。

关于那个振荡项，有两点值得注意，因为很容易弄错。

其幅值与功率因数无关。 无论相位滞后多少，波动幅值始终为 $\frac{1}{2} \overset{v}{^} \overset{}{^}$ （此处峰峰值为 144 W），变化的只是它所叠加的直流常数项。因此，脉动量与平均值之比为 $2/ cos φ$ ：随着负载无功分量增大，该比值会无限制地增大，而脉动幅值本身却丝毫不变。

只要稍有滞后，它就会变为负值。 最小值是 $\frac{1}{2} \overset{v}{^} \overset{}{^} (cos φ - 1)$ ，它在 $φ \neq = 0$ 的瞬间就变为负值。不存在需要维持在阈值以下的情况。只有在功率因数为 1 的情况下，该值才会刚好等于零：

相位滞后	平均值	最小值	纹波 ÷ 平均值
0°	72 W	0 W	2.00
30°	62.4 W	−9.7 W	2.31
60°	36 W	−36 W	4.00

三相之和为常数

将三个彼此相差 120° 的相功率相加：常数项直接累加；振荡项则是三个角频率为 $2 ω$ 、相位彼此相差 240° 的余弦项——依然构成一组三相对称量——因此它们的和恒等于零。

p (t) = \frac{3}{2} \overset{v}{^} \overset{}{^} cos φ

在相同的24 V 和6 A 下，功率为平坦的216 W，这是单相72 W 的三倍，且无纹波输出。

这与空间矢量页面从磁学角度所描述的抵消现象相同。在那里，三个绕组的磁动势之和形成一个旋转且无脉动的合成矢量。在这里，三个功率之和则是一个恒定值。这是同一事实的两种不同视角，而两者中的 $3/2$ 均为相同的 $3/2$ 。

dq 表达式中的 3/2 来自何处

用两轴分量表示时，同一功率可写为

p = \frac{3}{2} (v_{α} i_{α} + v_{β} i_{β}) = \frac{3}{2} (v_{d} i_{d} + v_{q} i_{q})

这两式之所以相等，是因为 Park 变换是一种旋转变换，而旋转变换保持内积（点积）不变——在哪个坐标系下计算并不会改变物理功率。

之所以有系数 $3/2$ ，是因为本站采用幅值不变（等幅值） Clarke 变换，其中 $i_{α}$ 的幅值等于相峰值。用两个轴的相峰值去计算三相绕组的功率，恰好少算了这一比例，因此功率表达式必须将它补回来。

在试验台上功率不变（等功率）约定改用 $2/3$ 进行缩放，此时功率直接就是 $v_{d} i_{d} + v_{q} i_{q}$ ，不带额外系数——这就是为什么有些教材带有 $3/2$ ，而另一些没有。两种约定本身都没错，但混用就会出错：症状是转矩常数偏差 1.5 倍或 $1.5$ 倍，具体取决于算式的哪一半取自哪本书。

src/core 全程采用幅值不变（等幅值）约定。如果从别处引用公式，在采信其中的系数之前，请先确认它遵循的是哪种约定。

无法注入电机的功率

若三个端子上的电压完全相同，则根本无法向电机传输任何功率。由于星形中性点悬空，三相电流之和必为零，因此

p_{c m} = v_{c m} (i_{a} + i_{b} + i_{c}) = 0

这就是为什么空间矢量 PWM可以通过注入共模分量来换取额外 15.5% 的线性调制范围，却无需付出任何代价。该注入分量对电机而言完全不可见——不是近似不可见，也不是平均意义上不可见，而是恒等意义上的完全不可见。

d 轴电流的代价

dq 坐标下的铜损是

P_{c u} = \frac{3}{2} R_{s} (i_{d}^{2} + i_{q}^{2})

并且两个轴上的权重完全相同。在参考电机上， 6 安培的 $i_{q}$ 消耗 18.9 瓦；同样，6 安培的 $i_{d}$ 也消耗 18.9 瓦——而在一台非凸极电机上，它根本不会产生任何转矩。

这就是弱磁控制的真正代价，也是 MTPA 具有实际意义的原因：你施加在 d 轴上的每一安培电流都会带来损耗，关键在于这些损耗是否为你带来了相应的收益。

要点回顾

单相输出的功率会在零与两倍平均值之间以两倍电频率波动。三相对称时，则能精确地输出恒定功率。
单相功率脉动的幅值与功率因数无关，改变的只有平均值。两者之比为 $2/ cos φ$ 。
单相瞬时功率在任何相位滞后下都会变为负值。不存在阈值。
瞬时功率为 $p = \frac{3}{2} (v_{d} i_{d} + v_{q} i_{q})$ ，其中的 $3/2$ 源于幅值不变（等幅值）约定，而非人为拼凑的修正系数。功率不变（等功率）约定下则没有该系数。
共模电压向悬浮中性点传输的功率为零，这正是 SVPWM 共模注入无需付出任何代价的原因。
铜损对 $i_{d}$ 和 $i_{q}$ 一视同仁。除非用来换取电压裕量或磁阻转矩，否则 d 轴上的每一安培电流都只是单纯发热。